Inversion

Formulaire de report

Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Définition

Une inversion $i(\Omega,r)$ de centre $\Omega$ et de rapport $r\in{\Bbb R}^*_+$ est une application du plan $P$ privé de $\Omega$ dans $P$ qui à tout point $M$ associe le point $M^\prime$ tel que :

$M^\prime\in(\Omega M)$
$\overline{\Omega M}\cdot\overline{\Omega M^\prime}=r^2$

Formule

$${{i(\Omega,r)(z)}}={{\frac{r^2}{\bar z} }}$$
(Affixe)

Exercices

Déterminer l'image de $i(\Omega,r)$

Définir $M$ en fonction de $M^\prime$
Si $M^\prime\in P^*$, posons $$\overrightarrow{\Omega M}=\frac{r^2\overrightarrow{\Omega M^\prime}}{\Omega M^{\prime2}}$$

Montrer que $M$ est un antécédent de $M^\prime$
Alors $M\ne\Omega$; $M\in(\Omega M^\prime)$ (donc $M^\prime\in(\Omega M)$)
Et $$\overrightarrow{\Omega M}\overrightarrow{\Omega M^\prime}=\frac{r^2\overrightarrow{\Omega M}}{\Omega M^{\prime2}}\overrightarrow{\Omega M}=r^2$$

Conclure par double-inclusion

D'où $M^\prime=i(\Omega,r)(M)\implies M^\prime\in\operatorname{Im}(i(\Omega,r))$
Ainsi $P^*\subset\operatorname{Im}(i(\Omega,r))$
($=$ par double inclusion)

Montrer que l'inversion est une involution

La définition est symétrique

En identifiant le plan $P$ avec ${\Bbb C}$, donner l'expression analytique de l'inversion $i(0,1)$, puis, plus généralement, de $i(\omega,r)$ avec $\omega\in{\Bbb C}$ et $r\in{\Bbb R}^*_+$

Poser $z,z^\prime$
Soit $z=\rho e^{i\theta}$ et $z^\prime=\rho^\prime e^{i\theta}$
On veut que $$\overrightarrow{OM}\overrightarrow{OM^\prime}=\rho\rho^\prime=r^2\implies\rho^\prime=\frac{r^2}\rho$$

Condition sur $z^\prime$
Donc $$z^\prime=\frac{r^2}{\rho}e^{i\theta}=\frac{r^2}{\rho e^{-i\theta}}=\frac{r^2}{\bar z}$$

Cas particulier demandé

Pour $i(0,1)$, on a $$z^\prime=\frac1{\bar z}$$

Montrer que chaque point du cercle de centre $\Omega$ et de rayon $r$ est invariant par inversion

Condition algébrique pour que $z\in\mathcal C(\omega,r)$
$$z\in\mathcal C(\omega,r)\iff z=\omega +re^{i\theta}$$

Calculer $z^\prime$

$$\implies z^\prime=\omega+\frac{r^2}{\bar\omega+re^{-i\theta}-\bar\omega}=\omega+re^{i\theta}=z$$

Montrer qu'une inversion transforme un birapport en son opposé

Gros calcul

$$\begin{align}[i(\omega,r)(a),i(\omega,r)(b),i(\omega,r)(c),i(\omega,r)(d)]&=\frac{\left(\omega+\frac{r^2}{\bar a-\bar\omega}\right)-\left(\omega+\frac{r^2}{\bar c-\bar\omega}\right)}{\left(\omega+\frac{r^2}{\bar b-\bar\omega}\right)-\left(\omega+\frac{r^2}{\bar d-\bar\omega}\right)}\frac{\left(\omega+\frac{r^2}{\bar b-\bar\omega}\right)-\left(\omega+\frac{r^2}{\bar d-\bar\omega}\right)}{\left(\omega+\frac{r^2}{\bar a-\bar\omega}\right)-\left(\omega+\frac{r^2}{\bar d-\bar\omega}\right)}\\ &=[\bar a,\bar b,\bar c,\bar d]\end{align}$$

(Affixe (Birapport))